Blog Matematika SMP Muhammadiyah 1 Surabaya

Tuesday, May 14, 2013

Operasi Kurang pada Himpunan

Selisih dari himpunan A dan himpunan B adalah jumlah seluruh anggota A yang bukan anggota B.

Contoh: A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3}
Selisih himpunan A dan B adalah {1, 4}.

Selisih himpunan A dan B dapat dinotasikan atau ditulis A – B. Selisih himpunan A dan B juga dapat dinyatakan dengan diagram Venn. A – B ditunjukkan dengan diagram Venn seperti Gambar dibawah ini. Perhatikan bahwa daerah yang diarsir adalah selisih A – B.

Selisih A–B

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/selisih.html

Glosarium

1.1 Konsep Himpunan

Konsep himpunan merupakan konsep dasar dalam matematika.

Definisi :

Himpunan adalah koleksi obyek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan.

Cara mengoleksi obyek-obyek dapat didasarkan pada sifat mereka yang sama atau berdasarkan suatu aturan tertentu. Obyek-obyek yang menjadi anggota dari himpunan ini disebut dengan elemen dari himpunan tersebut. Jika p anggota himpunan A, ditulis pÎA, dibaca ‘p adalah elemen (anggota) dari himpunan A’. Jika obyek q bukan anggota dari himpunan A, ditulis qÏA.

1.2 Notasi dan Definisi

Himpunan dinyatakan dengan huruf besar : A, B, C,…, sedangkan elemen-elemennya dinyatakan dengan huruf kecil : a, b, c, …..

Contoh :

Himpunan A terdiri atas bilangan 1,3,5,7, maka dapat dituliskan sebagai A = {1,3,5,7}
Himpunan B adalah himpunan bilangan genap positif, maka dapat dituliskan dalam bentuk : B = {xïx genap >0}

Terdapat tiga cara penulisan himpunan yaitu :

Dengan mendaftar anggota-anggotanya .

Contoh :

X = {2, 3, 5, 7, 11}

Y = {a, b, c, d}

2. Dengan menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi oleh anggota-anggotanya

X = Himpunan 5 bilangan prima yang pertama}

Y = Himpunan 4 abjad huruf kecil yang pertama}

3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.

X = {x½0< x < 13, x Î bilangan prima}

Y = {x½x Î 4 abjad huruf kecil yang pertama}

Definsi-Definisi pada teori himpunan :
a. Himpunan Semeseta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua obyek yang sedang dibicarakan, dinotasikan dengan S atau U.

Contoh :

Semesta pembicaraan dari himpunan A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f} adalah S = himpunan huruf-huruf kecil.
Semesta pembicaraan dari himpunan A = {2,5,7} adalah S = {1,3,5,7,9}

b. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota yang dinotasikan dengan { } atau f.

Contoh :

A = {x½x²=-1, xÎbilangan asli}, maka P = {}

c. Himpunan kuasa (Power Set)

Himpunan kuasa adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan.

Contoh :

Himpunan bagian dari himpunan A = {1,2,3} adalah { },{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

Banyaknya himpunan bagian dari dari suatu himpunan yang beranggotakan n anggota adalah 2ⁿ himpunan bagian.

d. Himpunan Berhingga (finite) dan Himpunan Tak Berhingga (infinite)

Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang elemennya berbeda yang banyaknya tertentu.

Himpunan tak berhingga adalah suatu himpunan yang elemennya berbeda yang banyaknya tidak tertentu.

Contoh :

P = himpunan bilangan prima, maka infinite

Q = himpunan bilangan prima kurang dari 10, maka Q finite.

1.3 Operasi-operasi Himpunan
a. Union (Gabungan) Himpunan

Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemen yang termasuk dalam A atau B atau keduanya yang dinyatakan dengan simbol Ù.

Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

A Ù B ={xεA atau xεB}.

Contoh :

A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f}, maka A Ù B = {a,b,c,d,e,f}

b. Interseksi (Irisan) Himpunan

Interseksi himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan A maupun B, yang dinyatakan dengan simbol ∩.

Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

A ∩ B ={x elemen A dan x elemenB}.

Contoh :

A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f}, maka A ∩ B = {c,d}

c. Selisih Himpunan

Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B, dinyatakan dengan :

A – B = {x elemen A dan x bukan elemenB}.

Contoh :
A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f}, maka A – B = {a,b}
d. Jumlah Himpunan

Jumlah himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A atau B tetapi tidak termasuk keduanya, dinyatakan dengan :

A + B = { x elemen A, x elemen b dan x bukan elemen A ∩ B}.

Contoh :

A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f}, maka A + B = {a,b,e,f}

e. Komplemen Himpunan

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak termasuk A tetapi masih dalam semesta pembicaraanS. Secaramatematis ditulis

Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

A’ = { x elemen S dan x bukan elemen A}

Contoh :

A = {b,c,d} dan S={a,b,c,d,e,f}, maka A’ = {a,e,f}

f. Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A juga merupakan anggota B, ditulis A C B.

Contoh :

A = {b,c,d} dan B={a,b,c,d,e,f}, maka A C B

g. Himpunan Sama

Himpunan A disebut sama dengan himpunan B jika A Ì B dan B Ì A.

Contoh :

A = {b,c,d} dan B={b,c,d}, maka A = B

sumber: http://wawanlaksito.wordpress.com/2011/05/20/teori-himpunan/

Cara Menyatakan Himpunan

Cara Menyatakan Himpunan
Misalkan diketahui himpunan lima abjad yang pertama adalah a, b, c, d, dan e. Jika kelima abjad yang pertama ini dinyatakan dalam himpunan, maka himpunan itu harus diberi nama terlebih dahulu. Nama himpunan biasa ditulis dengan huruf kapital. Himpunan lima abjad yang pertama dapat ditulis sebagai berikut.

A = {a, b, c, d, e}

Di samping menyatakan suatu himpunan seperti pada contoh di atas, adakah cara lain untuk menyatakannya? Pada dasarnya ada tiga cara untuk menyatakan himpunan yaitu:

menyatakan dengan kata-kata;
mendaftar (tabulasi);
notasi.

1) Cara Menyatakan Himpunan dengan kata-kata
Untuk menyatakan a, b, c, d, dan e sebagai himpunan dengan kata-kata adalah sebagai berikut.

A = himpunan lima abjad pertama

Untuk menuliskan 1, 2, 3, 4, dan 5 sebagai himpunan dengan kata-kata sebagai berikut.

B = himpunan lima bilangan asli yang pertama,

atau dapat ditulis

B = himpunan bilangan asli yang kurang dari 6.

2) Cara Menyatakan Himpunan dengan Mendaftar (Tabulasi)
Cara menyatakan himpunan dengan mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota dari himpunan tersebut. Semua anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal dan penyebutan anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan dengan tanda koma. Perhatikan contoh berikut ini.

a) A = {2, 3, 5, 7, 9}
b) M = {Bandung, Jakarta, Semarang, Surabaya}
c) S = {Senin, Selasa, Sabtu}
d) C = {1, 2, 3, 4, ...}

Menyatakan himpunan dengan cara seperti ini sangat cocok untuk himpunan yang jumlah anggotanya sedikit. Ada tiga hal yang perlu kalian perhatikan dalam menyatakan himpunan dengan cara mendaftar, yaitu sebagai berikut.

a) Anggota suatu himpunan yang muncul lebih dari satu kali, cukup ditulis sekali saja.
b) Penulisan anggota himpunan boleh mengabaikan urutannya.
c) Untuk himpunan yang jumlah anggotanya tak terhingga dan anggotanya mempunyai urutan tertentu dapat menggunakan tanda tiga titik (...).

3) Cara Menyatakan Himpunan dengan Menggunakan Notasi
Himpunan yang dinyatakan dengan cara ini tidak disebutkan anggota-anggotanya. Yang disebutkan hanyalah
syarat atau aturan yang harus dipenuhi oleh suatu objek agar dapat menjadi anggota himpunan yang bersangkutan. Penyajian himpunan dengan cara ini dinamakan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Penulisan dengan notasi pembentuk himpunan dinyatakan sebagai berikut.

A = {x|...., x ∈ ....}

Misalkan diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5}. Himpunan A dapat dinamakan sebagai himpunan lima bilangan asli pertama. Dengan cara notasi pembentuk himpunan ditulis dalam bentuk:

A = {x|x < 6, x ∈ bilangan asli}

Penotasian tersebut dibaca sebagai himpunan A dengan x kurang dari 6 dan x anggota bilangan asli. Selain penyataan himpunan dengan cara notasi seperti di atas, ada pula cara penotasian yang berbentuk sebagai berikut.

A = {(x, y)| .... , x, y ∈ bilangan ....}

Contoh:
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), ....} dapat dinyatakan dalam bentuk notasi sebagai berikut.

A = {(x, y)|x = y; x, y ∈ bilangan asli}

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/himpunan-bilangan-bilangan.html

Sifat-Sifat Jajar Genjang

Agar kalian lebih memahami sifat-sifat jajargenjang, lakukan kegiatan berikut ini.

a. Jiplaklah segitiga ABD pada Gambar dibawah ini lalu buatlah titik O di tengah-tengah BD.

Segitiga ABD

Putarlah segitiga ABD sebesar 180° dengan pusat O, kemudian amati bangun hasil putaran tersebut. Apakah hasilnya seperti bangun jajargenjang pada Gambar dibawah ini?

Segi empat ABCD hasil perputaran
segitiga ADB di O

A → C AB = DC dan ∠A = ∠C
B → … AD = … dan ∠B = ∠…
sehingga terdapat dua ruas garis yang sejajar, yaitu

AD // … dan DC // ....

Dengan demikian, dapat disimpulkan pada setiap jajargenjang berlaku sifat-sifat berikut.

• sisi-sisi yang … sejajar
• sisi-sisi yang … sama panjang, dan
• pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang … sama besar.

b. Buatlah garis AO. Jika segitiga ABD diputar 180º dengan pusat O, apakah hasilnya seperti pada Gambar dibawah ini? Dengan demikian:

AO berimpit dengan OC sehingga AO = OC
BO berimpit dengan … sehingga BO = …

sumber: www.plengdut.com/2013/03/sifat-sifat-jajargenjang.html

Tuesday, May 7, 2013

SIFAT-SIFAT SEGITIGA

1. Segitiga Siku-Siku

Segitiga siku-siku dapat dibentuk dari sebuah persegi panjang dengan menarik salah satu garis diagonalnya.

Perhatikan gambar berikut:

Bidang ABCD adalah persegi panjang. Dengan menarik diagonal AC, akan terbentuk dua segitiga siku-siku yang sama dan sebangun (konruen) yaitu ΔABC dan ΔADC.

Segitiga siku-siku mempunyai dua sisi siku-siku yang mengapit sudut siku-siku dan satu sisi miring (hypotenusa)

ΔABC mempunyai ciri-ciri:

AB dan BC sebagai sisi siku-siku, AC sebagai hypotenusa dan sudut ABC atau sudut B adalah sudut siku-siku (= 90°)

Dalam sebuah segitiga siku-siku, hypotenusa selalu terletak di depan sudut siku-siku.

2. Segitiga Sama Kaki

Dua buah segitiga siku-siku yang kongruen dapat membentuk sebuah segitiga sama kaki dengan mengimpitkan salah satu sisi siku-siku yang sama panjang dari kedua segitiga tersebut.

Perhatikan gambar berikut:

ΔABD dan ΔDBC adalah dua segitiga siku-siku yang kongruen. Sisi BD adalah sisi siku-siku yang sama panjang dari kedua segitiga tersebut. Jadi ΔACD adalah segitiga sama kaki dengan sisi AD=DC.

Di dalam segitiga sama kaki terdapat :

Dua sisi yang sama panjang, sisi tersebut sering disebut kaki segitiga.

Dua sudut yang sama besar yaitu sudut yang berhadapan dengan sisi yang panjangnya sama.

Satu sumbu simetri.

Segitiga sama kaki merupakan bangun simetri lipat dan dapat menempati bingkainya dalam dua cara.

Dari gambar disamping terlihat bahwa :

CD sebagai sumbu simetri

A pindah ke B; B pindah ke A dan C tetap.

AC pindah ke BC, maka AC=BC.

CAB pindah ke ABC maka CAB = ABC

3. Segitiga Sama Sisi

Tiga buah garis lurus yang sama panjang dapt membentuk sebuah segitiga sama sisi dengan cara mempertemukan setiap ujung garis satu sama lainnya.

Gambar (i) di atas menunjukkan gambar tiga garis lurus yang sama panjang, yaitu AB= BC=CA. Apabila ujung-ujung ketiga garis tersebut saling dipertemukan, A dengan A, B dengan B, dan C dengan C, maka akan terbentuk segitiga sama sisi ABC seperti terlihat pada gambar (ii) di atas

Di dalam segitiga sama sisi terdapat :

Tiga sisi yang sama panjang.

Tiga sudut yang sama besar.

Tiga sumbu simetri.

sumber:http://segitigasmp.wordpress.com/sifat-sifat-segitiga/

Irisan Himpunan

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya ada di himpunan A dan ada di himpunan B. Dengan kata lain, himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan tersebut.

Contoh: A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, c, f, g, h}

Pada kedua himpunan tersebut ada dua anggota yang sama yaitu b dan c. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa irisan himpunan A dan B adalah b dan c atau ditulis dengan:

A ∩ B = {b, c}

A ∩ B dibaca himpunan A irisan himpunan B. Dengan diagram Venn A ∩ B dapat dinyatakan seperti pada Gambar berikut ini.

Daerah irisan A dan B.

Contoh Soal:

1. Diketahui: A= {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 6, 7, 8}
C = {4, 5, 6, 7, 8}
Tentukanlah:
a. A ∩ B c. B ∩ C
b. A ∩ C d. A ∩ B ∩ C

Penyelesaian:
a. A ∩ B = {2, 3} c. B ∩ C = {6, 7, 8}
b. A ∩ C = {4, 5} d. A ∩ B ∩ C = { }

2. Perhatikan gambar berikut.

Tentukanlah:
a. A e. n(A)
b. B f. n(B)
c. A ∩ B g. n(A ∩ B)
d. S h. n(S)

Penyelesaian:
a. A = {1, 2, 3, 4, 5}
b. B = {4, 5, 6, 7, 8}
c. A ∩ B = {4, 5}
d. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
e. n(A) = 5

f. n(B) = 5
g. n(A ∩ B) = 2
h. n(S) = 11

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/

Sunday, May 5, 2013

Jenis-Jenis Sudut

Besar suatu sudut dapat diukur dengan menggunakan busur derajat. Besar sudut yang dapat diukur adalah lebih dari 0° dan kurang dari 360°. Besar sudut-sudut dapat dibedakan seperti sudut lancip, sudut tumpul, sudut siku-siku, sudut lurus, dan sudut refleks.