Keliling dan Luas layang-Layang

Pada Gambar berikut, ABCD adalah layang-layang. Pada layang-layang ABCD sepasang sisi-sisinya sama panjang, yaitu DA = DC dan BA = BC.

Keliling layang-layang ABCD = AB + BC + CD + DA
= 2AB + 2AD
= 2 (AB + AD)

Layang-layang ABCD

Keliling layang-layang sama dengan jumlah sisi-sisi layang-layang

Pada Gambar dibawah ini, ABCD adalah layang-layang dengan diagonal AC dan BD saling tegak lurus. EFGH adalah persegi panjang dengan panjang EF = HG = AC dan EH = FG = BD.

Layang-layang ABCD dan persegi panjang
EFGH

Luas persegi panjang = EF × EH
Luas layang-layang = ½ × luas persegi panjang
= ½ × EF × EH
= ½ × AC × BD
= ½ × diagonal₍₁₎ × diagonal₍₂₎
= ½ × d₁ × d₂

Luas layang-layang = ½ × d₁ × d₂

Contoh Soal:

ABCD adalah layang-layang dengan AE = 4 cm dan BD = 24 cm. Hitunglah luas ABCD.

Penyelesaian:
Luas ABCD = ½ (AC x BD)
= ½ (8 x 24) = 96 cm²

Jadi luas ABCD adalah 96 cm².

 

 

sumber:  http://www.plengdut.com/2013/03/keliling-dan-luas-layang-layang.html

Sifat Layang-Layang

ayang-layang memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

a. Sisinya Sepasang-sepasang Sama Panjang

Layang-layang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang memiliki luas berbeda dan alasnya sama panjang berimpit. Perhatikanlah segitiga-segitiga pada layang-layang ABCD. Segitiga ACD adalah sama kaki dengan alas AC, maka AD = DC. Begitu juga segitiga sama kaki ABC dengan alas AC, maka AB = BC, sehingga layang-layang ABCD mempunyai sisi sepasang-sepasang yang sama panjang, yaitu CD = AD dan AB = BC.

Sepasang-sepasang sisi pada layang-layang adalah sama panjang.

Sisi-sisi pada
layang-layang DA = DC,
BA = BC

b. Sepasang Sudut yang Berhadapan Sama Besar

Perhatikanlah layang-layang ABCD pada Gambar dibawah ini. Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan ∠BAC = ∠BCA = y°. Segitiga ADC adalah segitiga sama kaki dengan ∠DAC = ∠DCA = x°.

Layang-layang ABCD dibentuk dari dua segitiga sama kaki, yaitu segitiga sama kaki ADC dan ABC, maka:

 ∠DAB = ∠CAB + ∠DAC = yº + xº
∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = yº + xº

Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa ∠BAD = ∠BCD.

Sepasang sudut pada layang-layang adalah sama besar

Sudut-sudut pada
layang-layang ∠BAD = ∠BCD

c. Salah Satu Diagonal adalah Sumbu Simetri

Perhatikanlah layang-layang ABCD pada Gambar dibawah ini. Pada layang-layang ABCD sisinya sepasang-sepasang sama panjang, yaitu AB = BC dan AD = DC. Serta sepasang sudut yang berhadapan sama besar, yaitu ∠DAB = ∠BCD.

Tariklah garis dari B ke D, maka akan terbentuk dua segitiga yang kongruen yaitu ∠DAC dan ∠BCD yang berimpit di BD. Karena BD membagi layang-layang ABCD menjadi dua segitiga yang kongruen, maka BD adalah sumbu simetri. Sumbu simetri adalah garis yang membagi bidang datar menjadi dua bagian yang kongruen (sama besar). Pada Gambar, BD merupakan sumbu simetri.

Salah satu diagonal layang-layang merupakan sumbu simetri layang-layang

Diagonal BD
merupakan sumbu simetri
pada layang-layang

d. Salah Satu Diagonalnya Membagi Dua Sama Panjang dan Tegak Lurus Diagonal Lainnya

Garis BD membagi layang-layang ABCD menjadi dua segitiga yang kongruen yaitu ΔABD dan ΔBCD. Sisi-sisi yang berdekatan sama, yaitu AD = DC dan AB = BC, maka diagonal BD membagi AC menjadi sama panjang dan BD ⊥ AC. Oleh karena yang menjadi cermin adalah BD, maka BD tidak pindah (tetap) dan ⊥ AC. Pada keadaan demikian, BD disebut garis invarian.

BD membagi AC menjadi dua bagian yang sama panjang, yaitu AE = EC dan BD tegak lurus AC.

Salah satu diagonal layang-layang membagi dua sama panjang dan tegak lurus diagonal lainnya

Diagonal diagonal pada layang-layang
saling tegak lurus

Contoh Soal:

Sebuah layang-layang ABCD dengan diagonal panjang BD. Jika ∠D = 108° dan ∠DAC = 3x, dan ∠ACB = 5x, tentukanlah:

a. ∠DCA                      b. ∠DAB

Penyelesaian:
a. Perhatikanlah ΔACD
∠D + ∠DAC + ∠ACD = 180°
108° + 3x + 3x = 180°
6x = 180° – 108°

6x = 72°
x = 12°
∠DCA = ∠DAC = 3x
= 3(12°) = 36°

b. ∠DAB = 3x + 5x
= 8x
= 8 (12)°
= 96°

Komplemen

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {2, 3, 4, 5}

Komplemen dari himpunan A adalah {0, 1, 6, 7}. Komplemen dari himpunan A dapat dinotasikan atau ditulis A' dibaca A komplemen atau komplemen dari A. Komplemen A juga dapat dinyatakan dengan diagram Venn. Diagram Venn dari A' dinyatakan seperti Gambar berikut ini.

Komplemen A

Contoh Soal:

1. Perhatikan diagram Venn berikut ini.

 

Tentukan:
a. S        c. B         e. A' ∩ B
b. A       d. A'

Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b. A = {1, 2, 3, 4, 5}
c. B = {5, 6, 7}
d. A' = {6, 7, 8, 9}
e. A' ∩ B = {6, 7}
 

2. Perhatikan diagram Venn berikut ini.

Tentukan:
a. A'         d. A' ∩ B      g. B' ∩ A
b. B'         e. A' ∩ C      h. C' ∩ B
c. C'         f. B' ∩ C       i. C' ∩ A

Penyelesaian:
a. A' = {4, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 14, 15]
b. B' = {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
c. C' = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 15}
d. A' ∩ B = {4, 5, 6, 8}
e. A' ∩ C = {8, 11, 12}
f. B' ∩ C = {10, 11, 12}
g. B' ∩ A = {1, 2, 3, 10}
h. C' ∩ B = {4, 5, 6, 7}
i. C' ∩ A = {1, 2, 3, 7}

 

Sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/komplemen.html

Keliling dan Luas Persegi dan Persegi Panjang

Gambar berikut ini menunjukkan sebuah persegi. Pada gambar persegi di samping keempat sisinya sama panjang, yaitu sisi AB = BC = CD = DA. Jadi, keliling dan luas persegi dapat dituliskan sebagai berikut.

Persegi ABCD

Keliling persegi = 4 × sisi = 4s
Luas persegi = sisi × sisi = s²

 

 

 

Pada Gambar dibawah ini, ABCD adalah persegi panjang. Keliling persegi panjang tersebut adalah AB + BC + CD + AD. Oleh karena AB = DC dan AD = BC, maka:

keliling persegi panjang ABCD = AB + DC + BC + AD
= 2AB + 2BC
= 2 (AB + BC)
(AB disebut panjang dan BC disebut lebar)

Persegi panjang ABCD

Keliling persegi panjang = 2p + 2l = 2 (p + l)
Luas persegi panjang = AB × BC = p x l

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/keliling-dan-luas

Keliling dan Luas Segitiga

Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya dan besar sudut-sudutnya, bukan? Di samping dua hal tersebut, pada suatu segitiga ada hal lain yang sangat menarik untuk dipelajari. Dapatkah kalian menerka apakah itu? Ya, kalian benar di samping sisi-sisi dan sudut-sudut pada suatu segitiga, keliling dan luas dari suatu segitiga merupakan dua permasalahan yang sangat penting untuk kalian kuasai dengan baik. Agar kalian lebih paham, simak baikbaik uraian berikut.

Keliling Segitiga

Keliling segitiga adalah jumlah panjang semua sisi-sisi segitiga tersebut. Pada Gambar berikut ini, keliling ΔABC adalah AB + BC + AC.

Segitiga ABC

Jadi:

keliling Δ ABC = a + b + c

Contoh Soal:

Pada gambar di bawah ini, panjang AB = 10 cm, BC = 8 cm, dan AC = 9 cm. Hitunglah keliling segitiga itu?

Penyelesaian:
Keliling Δ ABC = AB + BC + AC
= 10 + 8 + 9
= 27 cm

Luas Segitiga

Pada penjelasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa segitiga memiliki tiga sisi dan tiga sudut. Setiap sisi pada segitiga dapat merupakan alas dari segitiga tersebut. Pada Gambar berikut ini, Δ ABC dengan alas:

AB memiliki tinggi CE
AC memiliki tinggi BD
BC memiliki tinggi AF

Segitiga ABC

Hasil kali alas dan tinggi kemudian dibagi dua merupakan luas segitiga.

Pada Gambar berikut ini, Δ ABC mempunyai:

alas AB dan tinggi CF
alas AC dan tinggi BD
alas BC dan tinggi AE

 

Segitiga ABC

 

Hasil kali alas dan tinggi kemudian dibagi dua merupakan luas segitiga.

Luas Δ ABC = Luas segitiga = ½ (alas x tinggi)

Luas segitiga = ½ (a x t)

Contoh soal:

Hitunglah luas segitiga pada gambar di bawah ini.

Penyelesaian:
a. Luas Δ ABC = ½ (18cm x 12cm) = 108 cm²

b. Luas Δ PQR = ½ (10cm x 9cm) = 45 cm²

 

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/besaran-besaran-pada-segitiga.html

Operasi Kurang pada Himpunan

Selisih dari himpunan A dan himpunan B adalah jumlah seluruh anggota A yang bukan anggota B.

Contoh: A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3}
Selisih himpunan A dan B adalah {1, 4}.

Selisih himpunan A dan B dapat dinotasikan atau ditulis A – B. Selisih himpunan A dan B juga dapat dinyatakan dengan diagram Venn. A – B ditunjukkan dengan diagram Venn seperti Gambar dibawah ini. Perhatikan bahwa daerah yang diarsir adalah selisih A – B.

Selisih A–B

 

 

 

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/selisih.html

Glosarium

 1.1  Konsep Himpunan

Konsep himpunan merupakan konsep dasar dalam matematika.

Definisi :

Himpunan adalah koleksi obyek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan.

Cara mengoleksi obyek-obyek dapat didasarkan pada sifat mereka yang sama atau berdasarkan suatu aturan tertentu. Obyek-obyek yang menjadi anggota dari himpunan ini disebut dengan elemen dari himpunan tersebut. Jika p anggota himpunan A, ditulis pÎA, dibaca ‘p adalah elemen (anggota) dari himpunan A’. Jika obyek q bukan anggota dari himpunan A, ditulis qÏA.

 1.2  Notasi dan Definisi

Himpunan dinyatakan dengan huruf besar : A, B, C,…, sedangkan elemen-elemennya dinyatakan dengan huruf kecil : a, b, c, …..

Contoh :

1. Himpunan A terdiri atas bilangan 1,3,5,7, maka dapat dituliskan sebagai A = {1,3,5,7}
2. Himpunan B adalah himpunan bilangan genap positif, maka dapat dituliskan dalam bentuk : B = {xïx genap >0}

 Terdapat tiga cara penulisan himpunan yaitu :

1. Dengan mendaftar anggota-anggotanya .

Contoh :

X = {2, 3, 5, 7, 11}

Y = {a, b, c, d}

2. Dengan menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi oleh anggota-anggotanya

X = Himpunan 5 bilangan prima yang pertama}

Y = Himpunan 4 abjad huruf kecil yang pertama}

3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.

X = {x½0< x < 13, x Î bilangan prima}

Y = {x½x Î 4 abjad huruf kecil yang pertama}

Definsi-Definisi pada teori himpunan :
a.    Himpunan Semeseta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua obyek yang sedang dibicarakan, dinotasikan dengan S atau U.

Contoh :

• Semesta pembicaraan dari himpunan A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f} adalah S = himpunan huruf-huruf  kecil.
•  Semesta pembicaraan dari himpunan A = {2,5,7} adalah S = {1,3,5,7,9}

b.     Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota yang dinotasikan dengan { } atau f.

Contoh :

A = {x½x²=-1, xÎbilangan asli}, maka P = {}

 c.      Himpunan kuasa (Power Set)

Himpunan kuasa adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan.

Contoh :

Himpunan bagian dari himpunan A = {1,2,3} adalah { },{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

Banyaknya himpunan bagian dari dari suatu himpunan yang beranggotakan n anggota adalah 2ⁿ himpunan bagian.

 d.     Himpunan Berhingga (finite) dan Himpunan Tak Berhingga (infinite)

Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang elemennya berbeda yang banyaknya tertentu.

Himpunan tak berhingga adalah suatu himpunan yang elemennya berbeda yang banyaknya tidak tertentu.

Contoh :

P = himpunan bilangan prima, maka infinite

Q = himpunan bilangan prima kurang dari 10, maka Q finite.

1.3  Operasi-operasi Himpunan
a.      Union (Gabungan) Himpunan

Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemen yang termasuk dalam A atau B atau keduanya yang dinyatakan dengan simbol Ù.

Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

A Ù B ={xεA atau xεB}.

Contoh :

A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f}, maka A Ù B = {a,b,c,d,e,f}

 b.       Interseksi (Irisan) Himpunan

Interseksi himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan A maupun B, yang dinyatakan dengan simbol ∩.

Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

A ∩ B ={x elemen A dan x  elemenB}.

Contoh :

A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f}, maka A ∩ B = {c,d}

 c.   Selisih Himpunan

Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B, dinyatakan dengan :

A – B = {x elemen A dan x bukan elemenB}.

Contoh :
A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f}, maka A – B = {a,b}
d.       Jumlah Himpunan

Jumlah himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A atau B tetapi tidak termasuk keduanya, dinyatakan dengan :

A + B = { x elemen A, x elemen b dan x bukan elemen A ∩ B}.

Contoh :

A = {a,b,c,d} dan B={c,d,e,f}, maka A + B = {a,b,e,f}

e.  Komplemen Himpunan

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak termasuk A tetapi masih dalam semesta pembicaraanS. Secaramatematis ditulis

Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

A’ = { x elemen S dan x bukan elemen A}

Contoh :

A = {b,c,d} dan S={a,b,c,d,e,f}, maka A’ = {a,e,f}

f. Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A juga merupakan anggota B, ditulis A C B.

Contoh :

A = {b,c,d} dan B={a,b,c,d,e,f}, maka A  C B

g.      Himpunan Sama

Himpunan A disebut sama dengan himpunan B jika A Ì B dan B Ì A.

Contoh :

A = {b,c,d} dan B={b,c,d}, maka A = B

sumber: http://wawanlaksito.wordpress.com/2011/05/20/teori-himpunan/