Cara melukis garis istimewa

Suatu segitiga, di samping memiliki garis-garis sisi ternyata juga memiliki garis-garis lain. Garis-garis itu adalah garis tinggi, garis bagi, garis berat, dan garis sumbu. Di manakah garis-garis itu berada dalam suatu segitiga? Bagaimanakah cara melukisnya? Pada bagian ini kalian akan mempelajari garis-garis tersebut beserta cara melukisnya.

a. Cara Melukis Garis Tinggi

Garis tinggi adalah sebuah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan tegak lurus sisi di hadapannya. Untuk melukis garis tinggi suatu segitiga dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

• Langkah 1. Buatlah segitiga ABC.
• Langkah 2. Dari titik sudut C, buatlah busur lingkaran dengan jari-jari r. Busur tersebut memotong sisi AB di titik D dan E.
• Langkah 3. Dari titik D dan E, buatlah busur lingkaran dengan jari-jari r (sama dengan busur lingkaran pada langkah 2). Kedua busur akan berpotongan di titik F.
• Langkah 4. Hubungkan titik C ke titik F dan CF merupakan garis tinggi segitiga ABC.

Melukis garis tinggi

Pada Gambar diatas terlihat garis tinggi CF yang dilukis berdasarkan langkah-langkah di atas. Dapatkah kalian membuat garis tinggi yang lain yang di mulai dari titik A atau B pada segitiga ABC tersebut?

b. Cara Melukis Garis Bagi

Garis bagi adalah suatu garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar. Untuk melukis garis bagi dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Langkah-langkah melukis garis bagi segitiga adalah sebagai berikut.

• Langkah 1. Buatlah segitiga ABC.
• Langkah 2. Buatlah busur lingkaran dengan titik A sebagai titik pusat. Busur tersebut akan memotong sisi AB dan AC berturut-turut di titik D dan E.
• Langkah 3. Buatlah busur lingkaran yang sama dengan busur lingkaran pada langkah 2 dengan titik D dan E sebagai titik pusatnya. Kedua busur lingkaran berpotongan di titik F.
• Langkah 4. Hubungkan titik A ke titik F. Garis AF yang terbentuk merupakan garis bagi segitiga.

Melukis garis bagi

Pada Gambar terlihat garis AF sebagai garis bagi suatu segitiga ABC, berdasarkan langkah-langkah di atas. Dapatkah kalian mencari garis bagi-garis bagi yang lainnya dari ΔABC tersebut? 

c. Cara Melukis Garis Berat dan Garis Sumbu Segitiga

Garis berat adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke pertengahan sisi dihadapannya. Garis sumbu adalah suatu garis yang ditarik dari tengah-tengah sisi suatu segitiga dan tegak lurus sisi tersebut. Untuk menggambar garis berat dan garis bagi suatu segitiga perhatikan langkahlangkah berikut.

• Langkah 1. Buatlah segitiga ABC.
• Langkah 2. Buatlah busur lingkaran dengan pusat titik B dengan jari-jari r.
• Langkah 3. Buatlah busur lingkaran dengan titik pusat C dengan jari-jari r.
• Langkah 4. Kedua busur yang dibentuk pada langkah 2 dan 3 akan berpotongan di titik D dan E.
• Langkah 5. Hubungkan titik D dan E, garis hubung DE disebut garis sumbu segitiga.
• Langkah 6. Garis gabung DE pada langkah 5 memotong sisi BC di F, lalu hubungkan titik A ke titik F. Garis AF yang terbentuk merupakan garis berat segitiga.

Garis berat segitiga dengan langkah-langkah di atas dapat dilihat pada Gambar berikut. 

Melukis garis berat

Sedangkan pada garis sumbu dapat dilihat pada Gambar berikut. 

Melukis garis sumbu

 

 

sumber:  www.plengdut.com/2013/03/cara-melukis-garis-istimewa

Keliling dan Luas Trapesium

Coba kalian perhatikan Gambar berikut ini.

Trapesium ABCD

Gambar tersebut merupakan sebuah trapesium dengan sisi-sisi, yaitu a, b, c, dan d. Keliling trapesium ABCD diatas = AB + BC + CD + DA
= b + d + a + c

Keliling trapesium = b + d + a + c

Untuk mencari luas trapesium, lakukan kegiatan berikut.

1. Jiplaklah trapesium ABCD pada Gambar trapesium diatas. Kemudianbuatlah satu buah trapesium yang kongruen dengan trapesium ABCD.

2. Hubungkan sisi miring trapesium tersebut sehingga terbentuk persegi panjang. Apakah hasil yang kalian dapatkan seperti pada gambar di bawah ini?

Dari gambar itu, tentu kalian tahu bahwa BE = DC = a dan CF = AB = b, sehingga luas persegi panjang AEFD = AE × AD = (… + …) × AD

3. Luas trapesium ABCD = ½ Luas persegi panjang AEFD
= ½ (… + …) × …

dengan AD = t adalah garis tinggi trapesium, maka akan kita dapatkan.
Luas trapesium = ½ (… + …) × …

Contoh Soal:

Pada gambar berikut, ABCD adalah trapesium sama kaki dengan AD = BC = DC = 10 cm, DE = 8 cm, dan AB = 2 × DC. Hitunglah keliling dan luasnya.

Penyelesaian:
AD = BC = DC = 10 cm
AB = 2 × DC = 2 × 10 cm = 20 cm

Keliling = AB + BC + DC + AD
= 20 + 10 + 10 + 10 = 50 cm

Luas = ½ (10 + 20) x 8 = 30 × 4 = 120 cm²

Keliling dan Luas Jajar Genjang

Gambar dibawah ini merupakan jajargenjang ABCD dengan sisi-sisi AB, BC, CD, dan DA, serta DE merupakan tingginya. Keliling jajargenjang ABCD = AB + BC + CD + AD.

Jajargenjang ABCD

Oleh karena AB = DC dan AD = BC, maka keliling jajargenjang
= AB + DC + BC + AD
= AB + AB + BC + BC
= 2AB + 2BC
= 2 (AB + BC)

(a) Jajargenjang ABCD dengan AB = a dan BC = b, (b) jajargenjang
ABCD dengan t sebagai tinggi.

Gambar diatas (a) merupakan jajargenjang dengan sisi-sisinya, yaitu a dan b.

Keliling jajargenjang adalah 2a + 2b = 2 (a + b)

Untuk menentukan luas jajargenjang, coba lakukan kegiatan berikut.

1. Buatlah jajargenjang ABCD, lalu buatlah garis tinggi DE dari titik D ke garis AB.
2. Guntinglah jajargenjang tadi sepanjang garis tingginya. Lalu gabungkan lagi sehingga terbentuk persegi panjang.

Luas jajargenjang ABCD = luas persegi panjang
= alas · t
= AB · DE

Dari uraian di atas dapat kita simpulkan jika AB disebut alas dan DE disebut tinggi jajargenjang, maka

luas jajargenjang = alas × t

Contoh Soal:

ABCD adalah jajargenjang dengan AB = 10 cm, BC = 8 cm, dan DE = 6 cm. Tentukanlah luas jajargenjang tersebut.

Penyelesaian:
Luas jajargenjang = alas × tinggi
= 10 cm × 6 cm

= 60 cm²

 

^{sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/keliling-dan-luas-jajargenjang.html} 

Keliling dan Luas Belah Ketupat

Pada Gambar dibawah ini (a), ABCD adalah belah ketupat. Keliling belah ketupat pada Gambar (a) adalah AB + BC + CD + DA. Sisi-sisi belah ketupat sama panjang, yaitu AB = BC = CD = DA.

(a) Belah ketupat ABCD (b) belah
ketupat ABCD dan persegi
panjang EFGH

Keliling belah ketupat = 4 × sisi = 4s

Pada Gambar (b), ABCD adalah belah ketupat dan EFGH adalah persegi panjang dengan panjang EF = AC = HG dan EH = BD = GF.

Luas persegi panjang EFGH = EF × FG.

Luas belah ketupat ABCD = ½ luas persegi panjang EFGH
= ½ × EF × FG
= ½ × AC × BD

AC dan BD merupakan diagonal-diagonal belah ketupat, maka luas belah ketupat ABCD dapat ditulis sebagai berikut.

Luas belah ketupat ABCD = ½ × d₁ × d₂

Contoh Soal: 
Diagonal-diagonal sebuah belah ketupat adalah 12 cm dan 8 cm. Hitunglah luas belah ketupat tersebut.

Penyelesaian:
Luas = ½ x 12cm x 8cm = 48cm²

 

 

^{sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/keliling-dan-luas-belah-ketupat.html} 

Keliling dan Luas layang-Layang

Pada Gambar berikut, ABCD adalah layang-layang. Pada layang-layang ABCD sepasang sisi-sisinya sama panjang, yaitu DA = DC dan BA = BC.

Keliling layang-layang ABCD = AB + BC + CD + DA
= 2AB + 2AD
= 2 (AB + AD)

Layang-layang ABCD

Keliling layang-layang sama dengan jumlah sisi-sisi layang-layang

Pada Gambar dibawah ini, ABCD adalah layang-layang dengan diagonal AC dan BD saling tegak lurus. EFGH adalah persegi panjang dengan panjang EF = HG = AC dan EH = FG = BD.

Layang-layang ABCD dan persegi panjang
EFGH

Luas persegi panjang = EF × EH
Luas layang-layang = ½ × luas persegi panjang
= ½ × EF × EH
= ½ × AC × BD
= ½ × diagonal₍₁₎ × diagonal₍₂₎
= ½ × d₁ × d₂

Luas layang-layang = ½ × d₁ × d₂

Contoh Soal:

ABCD adalah layang-layang dengan AE = 4 cm dan BD = 24 cm. Hitunglah luas ABCD.

Penyelesaian:
Luas ABCD = ½ (AC x BD)
= ½ (8 x 24) = 96 cm²

Jadi luas ABCD adalah 96 cm².

 

 

sumber:  http://www.plengdut.com/2013/03/keliling-dan-luas-layang-layang.html

Sifat Layang-Layang

ayang-layang memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

a. Sisinya Sepasang-sepasang Sama Panjang

Layang-layang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang memiliki luas berbeda dan alasnya sama panjang berimpit. Perhatikanlah segitiga-segitiga pada layang-layang ABCD. Segitiga ACD adalah sama kaki dengan alas AC, maka AD = DC. Begitu juga segitiga sama kaki ABC dengan alas AC, maka AB = BC, sehingga layang-layang ABCD mempunyai sisi sepasang-sepasang yang sama panjang, yaitu CD = AD dan AB = BC.

Sepasang-sepasang sisi pada layang-layang adalah sama panjang.

Sisi-sisi pada
layang-layang DA = DC,
BA = BC

b. Sepasang Sudut yang Berhadapan Sama Besar

Perhatikanlah layang-layang ABCD pada Gambar dibawah ini. Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan ∠BAC = ∠BCA = y°. Segitiga ADC adalah segitiga sama kaki dengan ∠DAC = ∠DCA = x°.

Layang-layang ABCD dibentuk dari dua segitiga sama kaki, yaitu segitiga sama kaki ADC dan ABC, maka:

 ∠DAB = ∠CAB + ∠DAC = yº + xº
∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = yº + xº

Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa ∠BAD = ∠BCD.

Sepasang sudut pada layang-layang adalah sama besar

Sudut-sudut pada
layang-layang ∠BAD = ∠BCD

c. Salah Satu Diagonal adalah Sumbu Simetri

Perhatikanlah layang-layang ABCD pada Gambar dibawah ini. Pada layang-layang ABCD sisinya sepasang-sepasang sama panjang, yaitu AB = BC dan AD = DC. Serta sepasang sudut yang berhadapan sama besar, yaitu ∠DAB = ∠BCD.

Tariklah garis dari B ke D, maka akan terbentuk dua segitiga yang kongruen yaitu ∠DAC dan ∠BCD yang berimpit di BD. Karena BD membagi layang-layang ABCD menjadi dua segitiga yang kongruen, maka BD adalah sumbu simetri. Sumbu simetri adalah garis yang membagi bidang datar menjadi dua bagian yang kongruen (sama besar). Pada Gambar, BD merupakan sumbu simetri.

Salah satu diagonal layang-layang merupakan sumbu simetri layang-layang

Diagonal BD
merupakan sumbu simetri
pada layang-layang

d. Salah Satu Diagonalnya Membagi Dua Sama Panjang dan Tegak Lurus Diagonal Lainnya

Garis BD membagi layang-layang ABCD menjadi dua segitiga yang kongruen yaitu ΔABD dan ΔBCD. Sisi-sisi yang berdekatan sama, yaitu AD = DC dan AB = BC, maka diagonal BD membagi AC menjadi sama panjang dan BD ⊥ AC. Oleh karena yang menjadi cermin adalah BD, maka BD tidak pindah (tetap) dan ⊥ AC. Pada keadaan demikian, BD disebut garis invarian.

BD membagi AC menjadi dua bagian yang sama panjang, yaitu AE = EC dan BD tegak lurus AC.

Salah satu diagonal layang-layang membagi dua sama panjang dan tegak lurus diagonal lainnya

Diagonal diagonal pada layang-layang
saling tegak lurus

Contoh Soal:

Sebuah layang-layang ABCD dengan diagonal panjang BD. Jika ∠D = 108° dan ∠DAC = 3x, dan ∠ACB = 5x, tentukanlah:

a. ∠DCA                      b. ∠DAB

Penyelesaian:
a. Perhatikanlah ΔACD
∠D + ∠DAC + ∠ACD = 180°
108° + 3x + 3x = 180°
6x = 180° – 108°

6x = 72°
x = 12°
∠DCA = ∠DAC = 3x
= 3(12°) = 36°

b. ∠DAB = 3x + 5x
= 8x
= 8 (12)°
= 96°

Komplemen

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {2, 3, 4, 5}

Komplemen dari himpunan A adalah {0, 1, 6, 7}. Komplemen dari himpunan A dapat dinotasikan atau ditulis A' dibaca A komplemen atau komplemen dari A. Komplemen A juga dapat dinyatakan dengan diagram Venn. Diagram Venn dari A' dinyatakan seperti Gambar berikut ini.

Komplemen A

Contoh Soal:

1. Perhatikan diagram Venn berikut ini.

 

Tentukan:
a. S        c. B         e. A' ∩ B
b. A       d. A'

Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b. A = {1, 2, 3, 4, 5}
c. B = {5, 6, 7}
d. A' = {6, 7, 8, 9}
e. A' ∩ B = {6, 7}
 

2. Perhatikan diagram Venn berikut ini.

Tentukan:
a. A'         d. A' ∩ B      g. B' ∩ A
b. B'         e. A' ∩ C      h. C' ∩ B
c. C'         f. B' ∩ C       i. C' ∩ A

Penyelesaian:
a. A' = {4, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 14, 15]
b. B' = {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
c. C' = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 15}
d. A' ∩ B = {4, 5, 6, 8}
e. A' ∩ C = {8, 11, 12}
f. B' ∩ C = {10, 11, 12}
g. B' ∩ A = {1, 2, 3, 10}
h. C' ∩ B = {4, 5, 6, 7}
i. C' ∩ A = {1, 2, 3, 7}

 

Sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/komplemen.html