Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

Bahasa Indah Matematika

Matematika selalu memberikan kesan 'angker' saat kita mendengarnya apalagi mempelajarinya. Tapi dibalik ke'angker'annya ternyata Matematika menyimpan sebuah keindahan. Perhatikan pola-pola perhitungan matematika berikut ini :

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

(0 x 9) + 8 = 8
(9 x 9) + 7 = 88
(98 x 9) + 6 = 888
(987 x 9) + 5 = 8888
(9876 x 9) + 4 = 88888
(98765 x 9) + 3 = 888888
(987654 x 9) + 2 = 8888888
(9876543 x 9) + 1 = 88888888
(98765432 x 9) + 0 = 888888888
(987654321 x 9) - 1 = 8888888888

3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37= 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777

24 x 37 = 888
27 x 37 = 999

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321



1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Matematika adalah sebuah Kebenaran. Tidak akan ada yang bisa menyangkal hasilnya. Juga salah satu keindahan yang datang dari Allah swt.

Sumber: milis immpas-itb
++++++++++++ +++++++++ +++++++++ +++++++++ +++++++++ +++++++++ ++

Alam ini selalu bertasbih kepada-Nya
Alam ini dirancang dengan begitu teliti & indahnya
Alam ini selalu harmonis dengan interaksi-interaksi nya
Alam ini selalu membentuk formasi yg tak menyalahi aturan-Nya
Alam ini dinyatakan dengan Bahasa Matematika untuk keUniversalannya
Alam ini kita di dalamnya, akankah kita katakan bahasa ini terjadi sendirinya?

Cara Melukis Sudut Istimewa

Tentu kalian sudah bisa menggambar sudut dengan menggunakan busur derajat. Bagaimanakah caranya menggambarkan sudut-sudut istimewa 30°, 45°, 60°, 90°, 135°, 180°, dan 270° dengan menggunakan jangka? Untuk memahami caranya, perhatikan uraian berikut ini.

a. Cara Melukis Sudut 90°, 60°, 45°, dan 30°

1) Cara Melukis Sudut 90° (perhatikan Gambar berikut)

Melukis sudut 90°

a) Buatlah garis g dari titik A.
b) Dari titik A dibuat busur dengan ukuran tertentu yang memotong garis g di B dan C.
c) Dari B dan C dibuat busur lingkaran yang berjari-jari sama dan kedua busur berpotongan di D.
d) Dari titik A tarik garis melalui D, maka terbentuk AD ⊥ BC dan ∠BAD = 90°.
 

2) Cara Melukis Sudut 60° (perhatikan Gambar berikut)

Melukis sudut 60°

a) Buatlah garis g dengan titik A terletak pada garis g.
b) Dari A buat busur lingkaran, memotong garis g di B.
c) Dari B dibuat busur lingkaran dengan jari-jari AB.
d) Kedua busur berpotongan di C.
e) Tarik dari titik A garis lurus melalui titik C.
f) ∠CAB adalah 60°.

3) Cara Melukis Sudut 45° (perhatikan Gambar berikut ini)

Melukis sudut 45°

Diketahui garis g yang melalui titik A. Kemudian dari A dibuat sudut 45°.
a) Buatlah sudut 90°.
b) Dari titik C dan D buatlah busur dengan jari-jari yang sama dan kedua busur berpotongan di F.
c) Tariklah garis dari titik A lewat F sehingga ∠FAC = 45°.

4) Cara Melukis Sudut 30° (perhatikan Gambar berikut ini)

Melukis sudut 30°

Diketahui garis g dengan titik A. Kemudian dari titik A dibuat sudut 30°.
a) Buatlah sudut 60° (lihat cara membuat sudut 60°).
b) Dari titik B dan C buat busur dengan jari-jari sama dan kedua busur berpotongan di D.
c) Dari A tarik garis lewat D sehingga besar ∠BAD = 30°.

b. Cara Melukis Sudut 120°, 135°, 180°, dan 270°

1) Cara Melukis Sudut 120°

Melukis sudut 120° dapat dikerjakan dengan mengikuti langkah-langkah melukis sudut 60°. Setelah sudut 60° terlukis yaitu ∠CAB maka terbentuklah ∠DAC = 120°. Mengapa ∠DAC = 120°? Berikan alasanmu.

Melukis sudut 120°

 

2) Cara Melukis Sudut 135°

Melukis sudut 135° dapat dilakukan dengan terlebih dahulu melukis sudut 45°. Setelah sudut 45° terlukis, yaitu ∠BAC = 45° maka terbentuklah ∠DAC = 135°. Mengapa demikian? Karena ∠BAC dan ∠DAC saling berpelurus.

Melukis sudut 135°

3) Cara Melukis Sudut 180°

Sudut 180° disebut juga sudut lurus. ∠AOB = 180°

∠AOB = 180°

4) Cara Melukis Sudut 270°

Untuk melukis sudut 270° dapat dikerjakan dengan melukis sudut 90°, terlebih dahulu. Setelah sudut 90° terlukis, yaitu ∠CAB = 90° maka terbentuklah ∠270°.

Melukis sudut 270°

 

sumber: www.plengdut.com/2013/03/cara-melukis-sudut-istimewa.html

Cara melukis garis istimewa

Suatu segitiga, di samping memiliki garis-garis sisi ternyata juga memiliki garis-garis lain. Garis-garis itu adalah garis tinggi, garis bagi, garis berat, dan garis sumbu. Di manakah garis-garis itu berada dalam suatu segitiga? Bagaimanakah cara melukisnya? Pada bagian ini kalian akan mempelajari garis-garis tersebut beserta cara melukisnya.

a. Cara Melukis Garis Tinggi

Garis tinggi adalah sebuah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan tegak lurus sisi di hadapannya. Untuk melukis garis tinggi suatu segitiga dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

• Langkah 1. Buatlah segitiga ABC.
• Langkah 2. Dari titik sudut C, buatlah busur lingkaran dengan jari-jari r. Busur tersebut memotong sisi AB di titik D dan E.
• Langkah 3. Dari titik D dan E, buatlah busur lingkaran dengan jari-jari r (sama dengan busur lingkaran pada langkah 2). Kedua busur akan berpotongan di titik F.
• Langkah 4. Hubungkan titik C ke titik F dan CF merupakan garis tinggi segitiga ABC.

Melukis garis tinggi

Pada Gambar diatas terlihat garis tinggi CF yang dilukis berdasarkan langkah-langkah di atas. Dapatkah kalian membuat garis tinggi yang lain yang di mulai dari titik A atau B pada segitiga ABC tersebut?

b. Cara Melukis Garis Bagi

Garis bagi adalah suatu garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar. Untuk melukis garis bagi dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Langkah-langkah melukis garis bagi segitiga adalah sebagai berikut.

• Langkah 1. Buatlah segitiga ABC.
• Langkah 2. Buatlah busur lingkaran dengan titik A sebagai titik pusat. Busur tersebut akan memotong sisi AB dan AC berturut-turut di titik D dan E.
• Langkah 3. Buatlah busur lingkaran yang sama dengan busur lingkaran pada langkah 2 dengan titik D dan E sebagai titik pusatnya. Kedua busur lingkaran berpotongan di titik F.
• Langkah 4. Hubungkan titik A ke titik F. Garis AF yang terbentuk merupakan garis bagi segitiga.

Melukis garis bagi

Pada Gambar terlihat garis AF sebagai garis bagi suatu segitiga ABC, berdasarkan langkah-langkah di atas. Dapatkah kalian mencari garis bagi-garis bagi yang lainnya dari ΔABC tersebut? 

c. Cara Melukis Garis Berat dan Garis Sumbu Segitiga

Garis berat adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke pertengahan sisi dihadapannya. Garis sumbu adalah suatu garis yang ditarik dari tengah-tengah sisi suatu segitiga dan tegak lurus sisi tersebut. Untuk menggambar garis berat dan garis bagi suatu segitiga perhatikan langkahlangkah berikut.

• Langkah 1. Buatlah segitiga ABC.
• Langkah 2. Buatlah busur lingkaran dengan pusat titik B dengan jari-jari r.
• Langkah 3. Buatlah busur lingkaran dengan titik pusat C dengan jari-jari r.
• Langkah 4. Kedua busur yang dibentuk pada langkah 2 dan 3 akan berpotongan di titik D dan E.
• Langkah 5. Hubungkan titik D dan E, garis hubung DE disebut garis sumbu segitiga.
• Langkah 6. Garis gabung DE pada langkah 5 memotong sisi BC di F, lalu hubungkan titik A ke titik F. Garis AF yang terbentuk merupakan garis berat segitiga.

Garis berat segitiga dengan langkah-langkah di atas dapat dilihat pada Gambar berikut. 

Melukis garis berat

Sedangkan pada garis sumbu dapat dilihat pada Gambar berikut. 

Melukis garis sumbu

 

 

sumber:  www.plengdut.com/2013/03/cara-melukis-garis-istimewa

Keliling dan Luas Trapesium

Coba kalian perhatikan Gambar berikut ini.

Trapesium ABCD

Gambar tersebut merupakan sebuah trapesium dengan sisi-sisi, yaitu a, b, c, dan d. Keliling trapesium ABCD diatas = AB + BC + CD + DA
= b + d + a + c

Keliling trapesium = b + d + a + c

Untuk mencari luas trapesium, lakukan kegiatan berikut.

1. Jiplaklah trapesium ABCD pada Gambar trapesium diatas. Kemudianbuatlah satu buah trapesium yang kongruen dengan trapesium ABCD.

2. Hubungkan sisi miring trapesium tersebut sehingga terbentuk persegi panjang. Apakah hasil yang kalian dapatkan seperti pada gambar di bawah ini?

Dari gambar itu, tentu kalian tahu bahwa BE = DC = a dan CF = AB = b, sehingga luas persegi panjang AEFD = AE × AD = (… + …) × AD

3. Luas trapesium ABCD = ½ Luas persegi panjang AEFD
= ½ (… + …) × …

dengan AD = t adalah garis tinggi trapesium, maka akan kita dapatkan.
Luas trapesium = ½ (… + …) × …

Contoh Soal:

Pada gambar berikut, ABCD adalah trapesium sama kaki dengan AD = BC = DC = 10 cm, DE = 8 cm, dan AB = 2 × DC. Hitunglah keliling dan luasnya.

Penyelesaian:
AD = BC = DC = 10 cm
AB = 2 × DC = 2 × 10 cm = 20 cm

Keliling = AB + BC + DC + AD
= 20 + 10 + 10 + 10 = 50 cm

Luas = ½ (10 + 20) x 8 = 30 × 4 = 120 cm²

Keliling dan Luas Jajar Genjang

Gambar dibawah ini merupakan jajargenjang ABCD dengan sisi-sisi AB, BC, CD, dan DA, serta DE merupakan tingginya. Keliling jajargenjang ABCD = AB + BC + CD + AD.

Jajargenjang ABCD

Oleh karena AB = DC dan AD = BC, maka keliling jajargenjang
= AB + DC + BC + AD
= AB + AB + BC + BC
= 2AB + 2BC
= 2 (AB + BC)

(a) Jajargenjang ABCD dengan AB = a dan BC = b, (b) jajargenjang
ABCD dengan t sebagai tinggi.

Gambar diatas (a) merupakan jajargenjang dengan sisi-sisinya, yaitu a dan b.

Keliling jajargenjang adalah 2a + 2b = 2 (a + b)

Untuk menentukan luas jajargenjang, coba lakukan kegiatan berikut.

1. Buatlah jajargenjang ABCD, lalu buatlah garis tinggi DE dari titik D ke garis AB.
2. Guntinglah jajargenjang tadi sepanjang garis tingginya. Lalu gabungkan lagi sehingga terbentuk persegi panjang.

Luas jajargenjang ABCD = luas persegi panjang
= alas · t
= AB · DE

Dari uraian di atas dapat kita simpulkan jika AB disebut alas dan DE disebut tinggi jajargenjang, maka

luas jajargenjang = alas × t

Contoh Soal:

ABCD adalah jajargenjang dengan AB = 10 cm, BC = 8 cm, dan DE = 6 cm. Tentukanlah luas jajargenjang tersebut.

Penyelesaian:
Luas jajargenjang = alas × tinggi
= 10 cm × 6 cm

= 60 cm²

 

^{sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/keliling-dan-luas-jajargenjang.html} 

Keliling dan Luas Belah Ketupat

Pada Gambar dibawah ini (a), ABCD adalah belah ketupat. Keliling belah ketupat pada Gambar (a) adalah AB + BC + CD + DA. Sisi-sisi belah ketupat sama panjang, yaitu AB = BC = CD = DA.

(a) Belah ketupat ABCD (b) belah
ketupat ABCD dan persegi
panjang EFGH

Keliling belah ketupat = 4 × sisi = 4s

Pada Gambar (b), ABCD adalah belah ketupat dan EFGH adalah persegi panjang dengan panjang EF = AC = HG dan EH = BD = GF.

Luas persegi panjang EFGH = EF × FG.

Luas belah ketupat ABCD = ½ luas persegi panjang EFGH
= ½ × EF × FG
= ½ × AC × BD

AC dan BD merupakan diagonal-diagonal belah ketupat, maka luas belah ketupat ABCD dapat ditulis sebagai berikut.

Luas belah ketupat ABCD = ½ × d₁ × d₂

Contoh Soal: 
Diagonal-diagonal sebuah belah ketupat adalah 12 cm dan 8 cm. Hitunglah luas belah ketupat tersebut.

Penyelesaian:
Luas = ½ x 12cm x 8cm = 48cm²

 

 

^{sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/keliling-dan-luas-belah-ketupat.html}