Cara Membagi Sudut

Jika pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari cara menggambar dan mengukur sudut dengan menggunakan busur derajat, maka sekarang kalian akan mempelajari cara membagi sudut menjadi dua bagian sama besar dengan menggunakan jangka.

Pada Gambar di bawah ini ∠BAC akan dibagi menjadi dua sudut sama besar dengan menggunakan jangka. Kita ukur dulu besar ∠BAC.

Sudut BAC

Adapun cara membaginya adalah sebagai berikut.
a. Jangkakan dari A dengan ukuran tertentu sehingga membuat busur DE seperti Gambar (a).

Membagi sudut menjadi dua bagian sama besar

b. Jangkakan dari D dengan ukuran tertentu dan juga dari E kedua busur hasil penjangkaan berpotongan di F seperti Gambar (b).

c. Hubungkan A dan F. Garis AF membagi sudut BAF dan ∠CAF sama besar seperti Gambar (c). Coba kalian ukur besar ∠BAF dan ∠CAF. Samakah kedua sudut itu? Bandingkan besar ∠BAF dan ∠BAC. Apakah ∠BAF = 1/2 ∠BAC? Jika tidak, berarti ada kesalahan dalam membagi sudut. 

Sebagai latihan, perhatikan gambar origami di bawah ini.

1. Segmen garis mana yang sama panjang dengan AO?
2. Berapakah besar ∠OAN?

Sumber:
http://www.plengdut.com/2013/03/cara-melukis-sudut-istimewa.html

Cara Menggambar Sudut

Untuk menggambar sudut diperlukan alat bantu busur derajat. Pada busur derajat perlu diperhatikan angka 0° dan 180°. Angka 0° adalah angka untuk memulai perhitungan, sedangkan angka 180° adalah angka maksimal dari busur derajat, tetapi ada juga busur derajat yang angka maksimalnya 360°. Agar kalian lebih memahami cara menggambar sudut lakukan kegiatan berikut ini.

1. Buat garis mendatar AB.
2. Tempatkan pusat busur pada titik A dan 0° pada garis AB.
3. Beri tanda dengan titik C pada busur derajat yang akan digambar.
4. Hubungkan titik A dan C sehingga terbentuk garis AC.
5. Terbentuklah sudut yang diminta, yaitu ∠BAC. Pada contoh di bawah ini digambarkan ∠BAC = 50° dan ∠BAC = 135°.

Menggambar sudut

sumber:
http://www.plengdut.com/2013/03/cara-menggambar-sudut.html

Cara Melukis Sudut

Tentu kalian sudah bisa menggambar sudut dengan menggunakan busur derajat. Bagaimanakah caranya menggambarkan sudut-sudut istimewa 30°, 45°, 60°, 90°, 135°, 180°, dan 270° dengan menggunakan jangka? Untuk memahami caranya, perhatikan uraian berikut ini.

a. Cara Melukis Sudut 90°, 60°, 45°, dan 30°

1) Cara Melukis Sudut 90° (perhatikan Gambar berikut)

Melukis sudut 90°

a) Buatlah garis g dari titik A.
b) Dari titik A dibuat busur dengan ukuran tertentu yang memotong garis g di B dan C.
c) Dari B dan C dibuat busur lingkaran yang berjari-jari sama dan kedua busur berpotongan di D.
d) Dari titik A tarik garis melalui D, maka terbentuk AD ⊥ BC dan ∠BAD = 90°.
 

2) Cara Melukis Sudut 60° (perhatikan Gambar berikut)

Melukis sudut 60°

a) Buatlah garis g dengan titik A terletak pada garis g.
b) Dari A buat busur lingkaran, memotong garis g di B.
c) Dari B dibuat busur lingkaran dengan jari-jari AB.
d) Kedua busur berpotongan di C.
e) Tarik dari titik A garis lurus melalui titik C.
f) ∠CAB adalah 60°.

3) Cara Melukis Sudut 45° (perhatikan Gambar berikut ini)

Melukis sudut 45°

Diketahui garis g yang melalui titik A. Kemudian dari A dibuat sudut 45°.
a) Buatlah sudut 90°.
b) Dari titik C dan D buatlah busur dengan jari-jari yang sama dan kedua busur berpotongan di F.
c) Tariklah garis dari titik A lewat F sehingga ∠FAC = 45°.

4) Cara Melukis Sudut 30° (perhatikan Gambar berikut ini)

Melukis sudut 30°

Diketahui garis g dengan titik A. Kemudian dari titik A dibuat sudut 30°.
a) Buatlah sudut 60° (lihat cara membuat sudut 60°).
b) Dari titik B dan C buat busur dengan jari-jari sama dan kedua busur berpotongan di D.
c) Dari A tarik garis lewat D sehingga besar ∠BAD = 30°.

b. Cara Melukis Sudut 120°, 135°, 180°, dan 270°

1) Cara Melukis Sudut 120°

Melukis sudut 120° dapat dikerjakan dengan mengikuti langkah-langkah melukis sudut 60°. Setelah sudut 60° terlukis yaitu ∠CAB maka terbentuklah ∠DAC = 120°. Mengapa ∠DAC = 120°? Berikan alasanmu.

Melukis sudut 120°

 

2) Cara Melukis Sudut 135°

Melukis sudut 135° dapat dilakukan dengan terlebih dahulu melukis sudut 45°. Setelah sudut 45° terlukis, yaitu ∠BAC = 45° maka terbentuklah ∠DAC = 135°. Mengapa demikian? Karena ∠BAC dan ∠DAC saling berpelurus.

Melukis sudut 135°

3) Cara Melukis Sudut 180°

Sudut 180° disebut juga sudut lurus. ∠AOB = 180°

∠AOB = 180°

4) Cara Melukis Sudut 270°

Untuk melukis sudut 270° dapat dikerjakan dengan melukis sudut 90°, terlebih dahulu. Setelah sudut 90° terlukis, yaitu ∠CAB = 90° maka terbentuklah ∠270°.

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/cara-melukis-sudut-istimewa.html

Sifat-Sifat Belah Ketupat

Jika kalian perhatikan baik-baik, belah ketupat merupakan jajargenjang yang diperoleh dari perputaran segitiga sama kaki sehingga semua sifat-sifat dari jajargenjang merupakan sifat-sifat belah ketupat. Selain itu, ada beberapa sifat belah ketupat yang tidak dimiliki oleh jajargenjang. Sifat-sifat tersebut antara lain sebagai berikut.

a. Keempat Sisinya Sama Panjang

Pada Gambar dibawah ini, ΔABC adalah segitiga sama kaki dengan alas AB. Hasil pencerminan dari ΔABC pada alas AB adalah ΔABD yang juga merupakan segitiga sama kaki. Segitiga ABC dan ΔABD merupakan segitiga yang kongruen sehingga sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dengan AC = BC, BC = BD, BD = AD, dan AD = AC atau dapat disimpulkan bahwa:

AC = BC = AD = BD

Sisi-sisi belah
ketupat sama panjang

Pada belah ketupat keempat sisinya sama panjang

b. Diagonal-Diagonal Saling Tegak Lurus

Belah ketupat ABCD dibentuk oleh pencerminan ΔABD terhadap simetri cermin BD dan menghasilkan bayangan ΔBCD. Oleh karena ΔABD dan ΔBCD adalah segitiga sama kaki dan AC membagi BD sama panjang, maka AC ⊥ BD.

(a) Diagonal belah ketupat yang saling tegak lurus; (b) Belah ketupat
ABCD dengan AC ⊥ BD

 

Pada Gambar diatas (a), ABCD adalah belah ketupat. Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa belah ketupat dapat dibentuk dari dua segitiga sama kaki yang kongruen. Pada Gambar (b), ABCD adalah belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya yaitu AC dan BD saling tegak lurus.

Diagonal-diagonal pada belah ketupat saling tegak lurus

c. Diagonal-diagonalnya Membagi Sudut-Sudut Sama Besar

Pada Gambar dibawah ini (a), ABCD adalah belah ketupat yang dibentuk dari dua segitiga sama kaki yang alasnya berimpit BD. Kedua segitiga yaitu ΔABD dan ΔBCD adalah segitiga yang kongruen. Perhatikanlah ΔBCD dan ΔABD yang berimpit di BD. Diagonal AC membagi BD sama besar, maka ∠DCA = ∠BCA dan ∠BAC = ∠DAC.

(a) Diagonal-diagonal pada belah ketupat membagi sudut-sudut sama
besar; (b) Diagonal AC membagi ∠A dan ∠C menjadi
dua sudut sama besar

Sekarang, perhatikanlah ΔACD dan ΔABC yang berimpit di AC, ΔACD kongruen dengan ΔABC. Diagonal BD membagi AC sama panjang dan membagi ∠B menjadi dua bagian yang sama besar. Demikian pula dengan ∠D dibagi oleh diagonal BD menjadi dua bagian sama besar.

Pada Gambar (b), ABCD adalah belah ketupat dengan diagonal AC membagi sudut A dan C sama besar. Demikian pula dengan diagonal BD membagi sudut B dan D menjadi dua sudut yang sama besar, sehingga dapat disimpulkan

∠BAC = ∠DAC dan ∠DCA = ∠BCA
∠ABD = ∠CBD dan ∠ADB = ∠CDB

Pada belah ketupat, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudut sama besar

Contoh Soal:

Pada gambar berikut ABCD adalah belah ketupat dengan ∠DAE = 46°, AE = 5 cm, dan DE = 12 cm.
 

Hitunglah:
a. ∠BAD                       b. ∠ABC

 Penyelesaian:
a. ∠BAD = 2 × ∠DAE
= 2 × 46°
= 92°

b. ∠ABC = 180° – 92° = 88°

 

 

 

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/sifat-sifat-belah-ketupat.html

Sifat-sifat persegi

Persegi merupakan belah ketupat dengan beberapa sifat istimewa. Berarti semua sifat-sifat belah ketupat merupakan sifat-sifat persegi. Adapun sifat-sifat tersebut sebagai berikut.

a. Keempat sisinya sama panjang, yaitu AB = BC = CD = DA.
 

b. Diagonal-diagonalnya berpotongan di tengah-tengah dan saling tegak lurus.

AE = CE
BE = DE
AC ⊥ BD
 

c. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
∠BAD = ∠BCD
∠ADC = ∠ABC
 

d. Diagonal-diagonalnya merupakan garis bagi.
∠DAC = ∠BAC = ∠DCA = ∠BCA
∠ABD = ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB

Persegi ABCD

 

Adapun sifat-sifat istimewa dari persegi adalah sebagai berikut.
a. Diagonal-diagonalnya sama panjang, yaitu AC = BD.

b. Besar sudut-sudutnya adalah 90°, yaitu ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

 

 

 

 

 

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/sifat-sifat-persegi.html

Sifat-Sifat Persegi Panjang

Sekarang, kalian telah mengetahui sifat-sifat jajargenjang. Bagaimana dengan sifat-sifat persegi panjang? Coba perhatikan dengan saksama Gambar dibawah ini. 

Persegi panjang ABCD

Apakah persegi panjang tersebut mirip jajargenjang? Ya benar, persegi panjang tersebut diperoleh dari perputaran segitiga siku-siku DAB dengan pusat E. Jadi, persegi panjang merupakan jajargenjang yang memiliki sifat khusus, berarti semua sifat-sifat jajargenjang merupakan sifat persegi panjang. Adapun sifatsifat tersebut adalah sebagai berikut.

a. Sisi-sisi yang sejajar sama panjang, yaitu:
AB sejajar DC dan AB = DC
AD sejajar BC dan AD = BC

b. Diagonal-diagonalnya sama panjang dan berpotongan di tengah-tengah, yaitu AE = EC = BE = DE
 

Sifat persegi panjang yang khusus adalah keempat sudutnya sama besar, yaitu 90°.

Pada persegi panjang ABCD berlaku:
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

Contoh Soal:

ABCD adalah persegi panjang dengan ∠BAC = 32°, AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AE = 5 cm. Tentukanlah:

a. ∠ACB
b. ∠ABD
c. AC
d. BD

Penyelesaian:
a. ∠ACB = 90° - ∠ 32° = 58°
b. ∠ABD = ∠BAC = 32°
c. AC = 2 × AE = 2 × 5 cm = 10 cm
d. BD = AC = 10 cm

 

 

 

sumber:http://www.plengdut.com/2013/03/sifat-sifat-persegi-panjang.html

Sifat-Sifat Layang-Layang

Layang-layang memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

a. Sisinya Sepasang-sepasang Sama Panjang

Layang-layang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang memiliki luas berbeda dan alasnya sama panjang berimpit. Perhatikanlah segitiga-segitiga pada layang-layang ABCD. Segitiga ACD adalah sama kaki dengan alas AC, maka AD = DC. Begitu juga segitiga sama kaki ABC dengan alas AC, maka AB = BC, sehingga layang-layang ABCD mempunyai sisi sepasang-sepasang yang sama panjang, yaitu CD = AD dan AB = BC.

Sepasang-sepasang sisi pada layang-layang adalah sama panjang.

Sisi-sisi pada
layang-layang DA = DC,
BA = BC

b. Sepasang Sudut yang Berhadapan Sama Besar

Perhatikanlah layang-layang ABCD pada Gambar dibawah ini. Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan ∠BAC = ∠BCA = y°. Segitiga ADC adalah segitiga sama kaki dengan ∠DAC = ∠DCA = x°.

Layang-layang ABCD dibentuk dari dua segitiga sama kaki, yaitu segitiga sama kaki ADC dan ABC, maka:

 ∠DAB = ∠CAB + ∠DAC = yº + xº
∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = yº + xº

Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa ∠BAD = ∠BCD.

Sepasang sudut pada layang-layang adalah sama besar

Sudut-sudut pada
layang-layang ∠BAD = ∠BCD

c. Salah Satu Diagonal adalah Sumbu Simetri

Perhatikanlah layang-layang ABCD pada Gambar dibawah ini. Pada layang-layang ABCD sisinya sepasang-sepasang sama panjang, yaitu AB = BC dan AD = DC. Serta sepasang sudut yang berhadapan sama besar, yaitu ∠DAB = ∠BCD.

Tariklah garis dari B ke D, maka akan terbentuk dua segitiga yang kongruen yaitu ∠DAC dan ∠BCD yang berimpit di BD. Karena BD membagi layang-layang ABCD menjadi dua segitiga yang kongruen, maka BD adalah sumbu simetri. Sumbu simetri adalah garis yang membagi bidang datar menjadi dua bagian yang kongruen (sama besar). Pada Gambar, BD merupakan sumbu simetri.

Salah satu diagonal layang-layang merupakan sumbu simetri layang-layang

Diagonal BD
merupakan sumbu simetri
pada layang-layang

d. Salah Satu Diagonalnya Membagi Dua Sama Panjang dan Tegak Lurus Diagonal Lainnya

Garis BD membagi layang-layang ABCD menjadi dua segitiga yang kongruen yaitu ΔABD dan ΔBCD. Sisi-sisi yang berdekatan sama, yaitu AD = DC dan AB = BC, maka diagonal BD membagi AC menjadi sama panjang dan BD ⊥ AC. Oleh karena yang menjadi cermin adalah BD, maka BD tidak pindah (tetap) dan ⊥ AC. Pada keadaan demikian, BD disebut garis invarian.

BD membagi AC menjadi dua bagian yang sama panjang, yaitu AE = EC dan BD tegak lurus AC.

Salah satu diagonal layang-layang membagi dua sama panjang dan tegak lurus diagonal lainnya

Diagonal diagonal pada layang-layang
saling tegak lurus

Contoh Soal:

Sebuah layang-layang ABCD dengan diagonal panjang BD. Jika ∠D = 108° dan ∠DAC = 3x, dan ∠ACB = 5x, tentukanlah:

a. ∠DCA                      b. ∠DAB

Penyelesaian:
a. Perhatikanlah ΔACD
∠D + ∠DAC + ∠ACD = 180°
108° + 3x + 3x = 180°
6x = 180° – 108°

6x = 72°
x = 12°
∠DCA = ∠DAC = 3x
= 3(12°) = 36°

b. ∠DAB = 3x + 5x
= 8x
= 8 (12)°
= 96°

 

sumber: http://www.plengdut.com/2013/03/sifat-layang-layang.html